[수학 수업 준비]초등 5학년 수학 삼각형의 넓이 구하는 방법- 오개념 방지하기

쉽지 않은 5학년 교육과정의 약수와 배수, 분수의 덧뺄셈 부분이 끝나고 제 생각으로는 가장 쉬운 단원인 6단원입니다. 다각형의 둘레와 길이를 구해보는 단원인데요. 오늘은 쉽다고 생각하고 대충 배우면 안 됩니다. 그 이유를 오개념을 들어 기록해 보도록 하겠습니다. 

 

 

1. 밑변의 개념을 명확히 해야 하는 이유

 '밑변'이라는 말이 주는 어감상, '밑에 있다'는 개념을 내포하는 것으로 착각할 수 있습니다. 

그러나 엄밀하게 얘기하면, 밑변은 '밑에 있거나', '고정된' 변이 아닙니다. 그냥 '기준이 되는' 변입니다. 우리가 무언가를 얘기할 때, '밑거름'이 된다 할 때, 그 밑을 말하는 겁니다. 

그래서 밑변보다는 '기준변'으로 말해주면 좋을 것 같아요. (인디스쿨의 통합탐구과정 선생님의 아이디어입니다. 감사합니다>_<)

 그럼 무엇의 기준이 되느냐?  그렇습니다. '높이'입니다. 

 

이 연습이 제대로 되지 않은 아이들은 아래와 같이 높이를 먼저 긋고 나서, 그것에 맞게 밑변을 맞춰버립니다. 아래 라 삼각형에서는 밑변이 빨간 선으로 그은 4cm입니다. 그런데, 높이를 먼저 긋고 나서 아래에 밑변을 맞춰 계산해버리는 겁니다. 그래서 5cm로 계산하고, 문제는 틀리게 됩니다. 완전히 다른 도형의 넓이를 구한 것이 됩니다. 밑변의 길이를 '도형 안에서' 찾아야 한다는 점을 지나친 것으로 보입니다. 

삼각형의 밑변 오개념

  따라서 수업에서는 '높이' 개념을 다루는 7차시에 들어가기 전에, 밑변과 높이 찾는 순서를 명확하게 제시해주어야 할 것으로 보입니다. 학습지 등을 이용해 그 연습을 충분히 해야, 자연스레 '선'인 '둘레' 개념에서, '면'인 '넓이'의 개념으로 발전할 수 있을 것입니다.

 

 

2. 교과서 구성의 아쉬움

현행 2015 개정 교육과정 교과서에서는 다각형의 둘레 단원을 1~6차시로 구성하여 다루다가, 갑자기 7차시부터 넓이 개념을 도입합니다. 위에서도  다루었듯이, 둘레의 선 개념에서 갑작스럽게 넓이인 면 개념으로 뛰어넘으면, 아이들에게는 혼돈이 가중될 수 있습니다.

 아이들 입장에서 생각을 해 봅시다. 분명히 둘레를 구하는 거는 덧셈만 했으면 되는데(가로+세로+가로+세로), 갑자기 '밑변'이라는 개념이 나오고, 또 높이를 곱하라고 하니  어렵게 느껴질 수 있습니다.

 

게다가 평행사변형-삼각형-마름모-사다리꼴의 순서대로 넓이 폭탄이 터집니다. 이 도형들 사이의 개념도 명확하지 않고, 헷갈리고 있는데 공식까지 외워야 한다고 생각하면 아찔하겠죠.

 

교과서 구성을 한번 봅시다. 

삼각형의 넓이를 구하는 첫 차시에서, 바로 1 제곱센티미터를 이용해 삼각형의 넓이를 구하라고 나옵니다.

표준단위의 필요성을 이미 가르쳤기 때문에, 1 제곱센티미터 네모의 개수를 구하면 된다고 쉽게 생각할 수 있을 것 같아요. 그런데.. 조각조각 잘린 건 아이들이 어떻게 세라는 뜻일까요???? 아래 사진에서 초록색으로 표시된 파편들 말입니다. 이것들을 다 합쳐서 12조각이 된다는 설명을 아이들이 이해할 수 있을까요?

 

삼각형 넓이

문제가 참 가관인데, 분명히 삼각형의 넓이를 구하는 첫 차시라고 말씀드렸습니다. 그런데 [삼각형의 넓이를 구하는 또 다른 방법]을 이야기해 보랍니다. 답정너인가요...?

이전 교육과정에서 '왜 그렇게 생각하나요?'라는 질문이 생각나네요. 이 질문에 대해 자문자답해야 하는 교사들의 몫이죠.

 

 

3. 삼각형의 넓이 구하는 공식에 대한 두 가지 접근

 삼각형의 넓이를 구하는 것은 결국 두 가지로 좁혀집니다. 첫째, 평행사변형으로 삼각형 두 개를 이어 붙여 그 넓이를 구하고 절반으로 나누는 방법입니다. 이전 차시에 평행사변형의 넓이를 구하는 것에 익숙했다면 얼마든지 도출해 낼 수 있는 방법입니다.

  두 번째는 삼각형을 절반으로 쪼개, 높이가 절반인 평행사변형으로 도형을 재구성하여, 그 넓이를 구하는 것입니다. 첫 번째 방법과의 차이점은 삼각형에 굳이 2배를 하지 않고, 높이를 조정하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다는 것입니다. 결국 공식은 같지만, 이용하는 도형이 다릅니다. 더 정확하게 이 개념을 전달하려면 높이 나누기 2라는 부분에 괄호를 쳐서 다음과 같이 묶어주면 더 좋을 것 같습니다.  

삼각형 높이