초등학교 수학에서 연산의 의미와 기본 구구를 알아보자.

지난 포스팅에 이어서 오늘은 초등 수학에서의 연산의 의미에 대해 정리해 보겠습니다. 

2023.01.26 - [수학교육] - 수 감각의 확장, 자릿값에 대하여 알아보자.

수 감각의 확장, 자릿값에 대하여 알아보자.

 

1. 연산에　관한　성취기준（미국　공통핵심수학규준，CCSSI)

• 유치원：합치기와　더하기　덧셈으로　이해하고，　덜어내기와　분리하기를　뺄셈으로　이해한다．
• １학년：　덧셈과　뺄셈이　포함된　문제를　표현하고　해결한다．　
  • 덧셈과　뺄셈　연산의　특징을　이해하고　두　연산　사이의　관계를　안다．　
  • 이어서　세기，　１０으로　만들기,　덧셈과　뺄셈의　관계와　같은　전략을　이용하여　２０이내의　덧셈과　뺄셈을　한다．　
  • 덧셈식과　뺄셈식을　이해한다．　
  • 자릿값과　연산의　특징을　이용하여　덧셈과　뺄셈을　한다．
• ２학년：　덧셈과　뺄셈이　포함된　문제를　표현하고　해결한다．　
  • ２０　이내의　덧셈과　뺄셈을　한다．　
  • ２학년　말에는　한　자리　수의　덧셈　구구를　암기한다．
  • 곱셈을　묶음　상황으로　이해한다．
  • 자릿값과　연산의　특징을　이용하여　１００　이내의　덧셈과　뺄셈을　능숙하게　한다．
• ３학년：　곱셈과　나눗셈이　포함된　문제를　표현하고　해결한다．
  • 곱셈의　특징을　이해하고　곱셈과　나눗셈의　관계를　안다．　
  • １００　이내의　곱셈과　나눗셈을　한다．　
  • ３학년　말에는　한자리　수의　곱셈　구구를　암기한다．
  • 사칙연산이　포함된　문제를　해결하고，　산술적인　규칙성을　파악하고　설명한다．
  • 자릿값과　연산의　특징을　이용하여　여러　자리　수의　연산을　한다． 　

 

2. 아동의　수　감각과　연산　능력　기르기

• 이전의　수　개념에　대한　지식을　바탕으로　연산　기능을　습득하도록　발전시켜야　함．
• 연산활동을　위한　네　가지의　선행　요건
• （１）　능숙한　수　세기 －시간만　충분하다면　자연수를　다루는　모든　문제는　‘수　세기’로　해결될　수　있음．
  • 하지만　수　세기를　통해　문제　해결하는　것이　효율적이지　않으므로，　다른　절차를　사용해야　함．
  • 곱셈이　보다　효율적임을　알　수　있음．
  • 연산　활동에서　핵심적인　부분．　
  • 아동들이　앞으로　세기，　거꾸로　세기뿐　아니라　２씩，　３씩　뛰어　세기를　할　수　있어야　함．
• （２）　구체적　상황에서의　다양한　경험
  • 문제　상황에서의　많은　경험，　물리적　대상을　다루는　경험이　필요함．
  • 수학적　사실과　기호를　아동　자신이　시각화하는　경험과　연결시키면，　연산에　대한　이해가　향상됨.
  • 구체적　조작물이　사칙　연산　구구에도　도움이　됨 －조작물은　사칙연산，　실세계　문제해결　상황을　연결하는　역할을　함
• （３）　많은　문제　해결　상황에서의　경험
  • 수학적　개념의　이해，　고등　사고　 및　문제해결　기능의　개발，　다양한　수학적　개념의　응용을　위한　수학학습에　사용됨
  • 문제　해결　과정에서　알고　있는　수학　지식을　적용，　가능한　방법　구상，　구한　답이　타당한지를　검증함．
  • 학생들이　수학이란，　실생활에서　적용되는　하나의　도구라는　점을　알아야　한다．
  • “나는　（아직）　그　답을　몰라　하지만　풀　수는　있어”
• （４）　수학적　아이디어를　의사소통할　수　있는　언어적　경험
  • 구체적　조작물，　문제가　수학에　대한　의사소통을　위한　매개물이　될　수　있다．
  • 구체물의　사용을　너무　일찍　중단하고，　기호로　성급하게　이루어져서는　안 됨

 

３．　연산의　의미　개발

• 사칙연산의　의미를　개발하는데　도움이　되는　활동의　일반적　계열
• （１）구체적－구체물로　모델링：　
  • 다양한　언어적　문제　상황과　구체적　조작물을　사용하여　연산을　수행하고　모델링하기
• （２）반구체적－　그림으로　표현：　
  • 그림，　도표　등을　사용하여　연산　과정을　모델링한다．　구체적인　것과　기호적　표현을　연결하는　역할을　한다．
• （３）추상적－기호로　표현：　
  • 기호（특히　수나　수식）를　사용하여　연산을　표현한다．
• 가．　덧셈과　뺄셈
• （１）분리　또는　구잔 　
• （２）비교　또는　구차
• （３）　부분－전체
  • 뺄셈　문제는　‘더해진　수　찾기’로　생각하고　해결하는　것이　도움이　됨．　왜냐하면　뺄셈　문제를　덧셈으로　생각하기　전략으로　해결할　수　있기　때문임
  • ex) 4 더하기　얼마는　７이　되는가？
• 너무　일찍부터　기호를　사용하는　것은　바람직하지　않음　
• 구체물을　옮기거나　세기를　통하여　덧셈과　뺄셈에　대하여　생각하게　하는　것은　이　활동의　가장　중요한　요소임．
• 기호는　물리적　조작을　보완하는　것으로　도입되어야 하고，　수와　연산에　대한　활동이　진행됨에　따라　기호화의　양을　늘리는　것이　좋음．
• 나． 곱셈과　나눗셈
  • 곱셈，　나눗셈문제와　덧셈，뺄셈　문제의　가장　중요한　차이는　문제에　들어　있는　수들이　서로　다른　종류를　의미한다는　것임．
  • ex) 48x2=96에서　４８은　각　집합의　크기，　즉　원소의　개수를　의미하고，　２는　같은　크기의　집합이　몇　개인지를　의미함．　９６은　곱으로서의　전체　개수를　의미함．
• 다. 곱셈의　네　가지　구조
  • （１）　묶음
  • （２）비교
  • （３）조합
  • （４）넓이와　배열
• 라. 나눗셈의　서로　다른　유형
  • （１）측정
  • （２）분할

4．　사칙연산의　기본　구구

• 연산　개념이　발달하면서，　수의　결합에　초점을　두기　시작함．
• 이러한　수의　결합을　기본　구구라고　함．
• 가. 아동이　기본　구구를　숙달하는　３단계의　과정
  • （１）세기　전략：　구체물　세기나　말로　세기
  • （２）추론　전략：　이미　알고　있는　구구나　관계를　이용하여　모르는　구구　이해
  • （３）숙달：기본　구구에　대한　자동화
• 나. 기본　구구를　숙달하는데　어려움을　겪는　원인　２가지
  • （１）　수에　대한　기초적인　이해가　개발되지　않은　 경우
    • 기본　구구를　이해하지　않은　채　기계적으로　암기하거나，　암기하는　과정에서　무의미한　기호　조작에　그치게　됨
    • 기본　구구를　기억하는　데　어려움을　겪게　됨
  • （２）기억하는　기능　자체가　교사에　의하여　가르쳐지지　않았거나，아동들이　이해하지　못하는　비효율적인　전략으로　가르쳤기　때문임．
• 다. 기본　구구에서의　결함을　치료할　수　있는　방법　３단계
  • （１）아동의　현재　상태에서　시작하기
    • 가로셈과　세로셈이　같다는　것을　이해하지　못할　수도　있음．
    • 개인별　평가　표：　집단　토의，　구체물　조작　활동，　지필　활동에　대한　관찰　 및　면담을　통해，　개개의　아동이　무엇을　알고　있는지를　파악하는　것부터　시작할　필요가　있음．
    • 개인별　평가표의　내용
    • １）아동이　연산에　대한　개념을　갖고　있나？
    • 덧셈，　뺄셈，　곱셈　，　나눗셈이　포함된　문장제를　제시했을　때，　그　문제　상황을　모델화할　수　있는가？
    • 문제를　해결할　수　있는가？
    • 자신이　구한　답을　정당화할　수　있는가？　
    • 수식으로　표현할　수　있는가？　
    • 사용한　연산이　무엇인지　알고　있는가？
    • ２）　아동들이　이해하고　있는　구구는　무엇인가？
    • 주어진　구구를　그림으로　설명할　수　있는가？　
    • 주어진　그림을　구구로　표현할　수　있는가？
    • ３）　구구에　대한　답을　구하기　위해　사용하는　전략은　무엇인가
    • ‘８＋５＝１３이라는　것을　어떻게　알았는가라는　질문에　타당하게　답할　수　있는가？
    • ４）　외우고　있는　구구는　무엇인가？
    • 구구를　계산하지　않고도，　３초　안에　답할　수　있는가？
  • （２）기본　구구를　이해시키기
    • 결과가　같은　구구끼리　묶기
    • ex) 합이　５인　구구：０＋５＝５／　２＋３＝５／１＋４＝５
    • 세　수　사이의　관계를　유형별로　조직하기
    • ex) ３＋１＝４／　１＋３＝４／４－１＝３／４－３＝１
    • 사고　전략으로　구분하여　제시하기
    • ex) 가수가　１인　모든　구구，　７+７과　같이　같은　수를　거듭　더하는　구구
• 구구를　암기하기　위한　연습　전에　다음의　３가지는　할　수　있어야　함
  • １）주어진　기본　구구와　관련된　구구들을　말하고　쓸　수　있다．
  • ２）주어진　기본　구구의　답이　어떻게　나왔는지를　설명하고，　답이　맞는지를　증명할　수　있다．
  • ３）주어진　기본　구구를　두　가지　이상의　방법으로　풀　수　있다．
• （３）기억하는　방법에　초점을　맞추기
  • 기본　구구를　재빨리，　자동적으로　회상할　수　있어야　함．
  • 능숙하고　효율적인　계산　능력을　갖게　하는　것이　수업의　목표임　
• 기본　구구를　연습하는　중요한　원리　５가지
  • １）기본　구구를　암기하려고　하기　전에　이해해야　한다．
  • ２）외우려는　목적을　갖고　반복　연습해야　한다．　　
    • 암기가　강조되어야　한다．　
    • 이때부터는　설명하는　시간이　아니다．
  • ３）반복연습은　５-１０분정도로　짧아야　하며，　거의　매일 한다．
    • 　한 번의　몇　개의　구구만을　암기하려고　해야　하며，　이미　암기된　구구도　끊임없이　반복해서　연습해야　한다．
  • ４）아동은　구구를　외우는　자신의　능력에　자신감을　가져야　하며，　교사는　좋은　결과에　대해　칭찬해야　한다．
  • ５）반복　연습　활동은　다양하고　흥미로우며，　도전적이어야　하고　열심히　참여하도록　제시되어야　한다．

 

5．　기본　구구를　위한　사고　전략

• （１）덧셈구구
  • 어떤　규칙성이　있나요？
  • 가장　큰　합은　무엇인가요？　이때는　어떤　수가　더해지나요？
  • 이　합에　대해　덧셈식을　쓸　수　있나요？
  • 합이　５가되는　모든　합에　원을　그리세요．　
  • 왜　덧셈　구구표에서　５는　６번　나올까요？
  • 덧셈　구구표에서　가장　많이　나오는　합은　무엇인가요？
• 기본　구구　연습용　게임：　덧셈　빙고，　곱셈　게임，　구구　확인하기
  • １과　０　더하기
  • 같은　수끼리　더하기
  • 이어서　세기
  • 합이　１０이　되는　결합　이용하기
  • １０을　만들어서　더하기
• （２）뺄셈구구
  • １과　０　빼기 전략
  • 같은　수끼리　더하기
  • 거꾸로　세기
  • 이어서　세기
• （３）곱셈구구
  • 의미 있게　이해되기　전까지，　표나　차트　형태로　제시되면　안 된다！
  • 교환법칙을　이루는　많은　결합을　시도해　본다（계산기　등도　ok)
  • 뛰어　세기를　통하여，　배수에도　적용해 본다．
  • 동수　누가：곱셈을　덧셈으로　바꾸는　전략
  • 곱을　이미　알고　있는　부분으로　분해하기（분배　법칙，　한 묶음　더，　이미　알고　있는　구구의　２배，　알고　있는　５단　구구）
  • １과　０곱하기
  • 규칙성　찾기
• （４）나눗셈　구구
  • 손가락　곱셈이 유용함