[초5-2 수학] 2. 분수의 곱셈 문장제 유형 3가지!

학생들이 어려워하는 분수의 곱셈, 이중에서도 문장제 유형이 있죠!

이 문장제 유형을 잘 풀어내려면, 우선 분수의 곱셈이 어떤 방식으로 출제되는지 알아두는 것이 유용할 것입니다.

오늘은 분수의 곱셈 문제들이 어떤 유형으로 나오는지 자세히 살펴보도록 하겠습니다. 

 

바루디(Baroody)와 코슬릭(Coslick)(1998)이 제시한 3가지 맥락을 중심으로 각각의 맥락에 적 합한 분수의 곱셈 상황을 살펴보면 다음과 같습니다.

 

첫째, 묶음 상황입니다.

(분수) 곱하기 (자연수)에서 동수 누가의 방법을 이용하여 학생들이 알고 있는 분수의 덧셈 방법으로 시작합니다.

여기서 동수 누가란 같은 수를 계속 더한다는 뜻입니다.

이렇게 덧셈으로 , 묶음으로 접근하게 되면 이를 분수의 곱셈과 연결하기에 용이하다는 장점이 있습니다.

예를 들어, 10 나누기 2를 봅시다. (자연수) 나누기 (분수)에서 사탕 10개를 2묶음으로 나눈 것 중의 한 묶음으로 나타내는 것도 묶음 상황으로 구분할 수 있지요?

 

이런 묶음 상황은 자연수가 곱하는 분수의, 즉, 분모의 배수인 경우에 자연스럽게 풀립니다.

11 곱하기 1/2라면, 나누어 떨어지지가 않잖아요.. 흑흑 🤣🤣🤣

 

 

둘째, 비율 상황입니다.

여기에서는 곱하는 수가 배의 의미를 갖는 상황이 되므로

모든 분수 상황에서 활용할 수 있다는 장점이 있습니다.

특히 비율 상황에서 학생들은 곱하는 수를 연산자로서의 분수로 이해하고 곱함을 당하는 수를 곱하는 수의 분모만큼 분할한 후에 분자만큼 취하는 조작적인 과정에 참여하게 됩니다.

 

 

셋째, 넓이 상황입니다.

위의 두 상황과 다르게 곱함을 당하는 수와 곱하는 수가 각각 측정량을 의미합니다.

첫 번째의 묶음 상황에서는 곱함을 당하는 수가 측정량일 경우를 봅시다. 곱하는 수는 측정량을 반복해서 더하는 횟수를 의미하죠?

두 번째의 비율 상황을 봅시다. 곱함을 당하는 수가 측정량일 경우에 곱하는 수는 측정량에 취하는 조작을 의미하겠죠! (몇 조각으로 나눈다던지, 자른다던지 하는...)

 

그런데 이 넓이 상황일 경우에는 곱함을 당하는 수와 곱하는 수가 모두 길이를 나타냅니다.

따라서 초등학생들이 넓이를 곱의 개념으로 이해하기에는 어려움이 있을 수 있다는 문제점이 있습니다.

 

그러나 초등학교에서는 넓이의 의미를 단위 넓이가 가로와 세로에 각각 몇 번 들어가는지를 측정하는 것으로 이해하는 것에 가깝습니다.

따라서, 분수의 곱셈에서 직사각형 넓이 모델을 이용하여 전체 단위를 가로와 세로, 양방향으로 분할하는 과정을 통해 분수 알고리즘과 연결하여 다루기에 용이한 것입니다.

 

 

이렇게 교과서의 분수의 곱셈 단원은 각각의 상황에 적합한 맥락을 다양하게 제시되고 있습니다.

구체적으로 (분수) 곱하기 (자연수)에서는 묶음 상황으로 제시하고 있고요.

(자연수) 곱하기(분수)에서 자연수가 곱하는 수의 분모의 배수인 경우에는 몇 묶음으로 나눈 것 중의 몇 묶음 상황으로 접근하여 알고 있는 지식과 연결하도록 하고 있습니다. 구체적으로 (자연수)_(분수)는 자연수가 승수의 분모의 배수인 상황을 먼저 제시하여 3학년에서 학습하는 이산량 상황의 분수 내용을 분수의 곱셈 상황으로 이해하도록 하고 이를 형식화하도록 한 후에 자연수가 승수의 분모와 서로소인 상황을 제 시하여 단일 단위 각각을 분할하는 분배 전략을 경험할 수 있도록 합니다.

 단, 자연수가 승수의 분모와 서로소인 경우에는 비율 상황으로 제시하여 승수가 연산자로서의 분수임을 이해할 수 있도록 해야 합니다.

 

또한 (분수) 곱하기(분수)는 비율 상황으로 제시하더라도 넓이 모델을 이용하여 전체 단위가 가로와 세로로 몇 등분되는지 살펴보는 과정을 통해 분수의 곱셈 알고리즘과 연결될 수 있겠습니다.

 

이 때문에 교과서의 분수의 곱셈 단원은 분수의 수치적 특성과 관련하여 (분수) 곱하기(자연수), (자연 수) 곱하기(분수), (분수) 곱하기 (분수)의 순서로 제시됩니다.

 따라서, (분수) 곱하기(분수)를 도입하기 전에 (단위 분수) 곱하기(단위 분수), (진분수) 곱하기(단위 분수)와 같이, '단위 분수'를 통해 기본 아이디어를 다룰 수 있도록 하는 것은 도움이 될 것 같습니다.

 나아가서 곱하는 수의 분자와 곱하는 수의 분모가 서로소인 경우를 제시하여 분배 전략을 통한 분할을 충분히 경험하고 이를 분수의 곱셈 알고리즘과 연결할 수 있도록 하면 더욱 원리에 도움이 될 것 같습니다!

 

 

 

참고문헌: 교육부. 2021. 5학년 2학기 수학 교사용 지도서.