‘동치’와 ‘동치 관계’, 뭐가 다를까?

수학 시간에 종종 듣게 되는 개념 중에 ‘동치’와 ‘동치 관계’가 있습니다. 겉으로 보기엔 비슷해 보이지만, 사실 이 둘은 전혀 다른 수학적 개념을 다룹니다. 오늘은 이 두 개념이 각각 어떤 뜻을 가지고 있고, 왜 구분해서 이해해야 하는지를 함께 알아보겠습니다.

 

1. ‘동치’란 무엇인가?

먼저 ‘동치(等値, Equivalent)’라는 말의 뜻부터 살펴보겠습니다. ‘같은 값’ 또는 ‘같은 의미를 가진다’는 뜻입니다. 수학에서 ‘동치’는 두 수식이나 명제가 서로 완전히 같은 참의 값을 갖는 경우를 말합니다.

• 예를 들어,
  • 명제 A: “2는 짝수이다.”
  • 명제 B: “2는 2로 나누어 떨어진다.”
• 이 두 명제는 같은 의미를 갖고 있으며, 언제나 참(True)입니다. 그래서 A와 B는 동치라고 말합니다.
• 또는,
  • 𝑥 2 − 4 = 0 x 2 −4=0이라는 방정식은
  • ( 𝑥 − 2 ) ( 𝑥 + 2 ) = 0 (x−2)(x+2)=0과 동치입니다.

즉, 동치란 ‘내용적으로 같다’는 의미이며, 같은 결과를 낳는 표현들끼리의 관계를 뜻합니다.

정리하자면, 동치(equivalence): 두 개의 수식 또는 명제가 같은 의미 또는 같은 참/거짓의 값을 가질 때, 그것들을 서로 동치이다라고 한다.

 

2. ‘동치 관계’란 무엇인가?

그렇다면 ‘동치 관계’는 무엇일까요?

‘동치 관계(Equivalence Relation)’는 조금 더 추상적인 개념입니다. 어떤 집합 안에서 원소들 사이에 '동등함'을 정의하는 규칙을 말합니다. 동치 관계는 아래의 세 가지 조건을 모두 만족해야 합니다

• 반사성(Reflexivity):
  • 어떤 원소 a에 대해서, 항상 𝑎 ∼ 𝑎 a∼a. → 즉, 자기 자신과는 항상 동치이다.
• 대칭성(Symmetry):
  • 만약 𝑎 ∼ 𝑏 a∼b 라면, 반드시 𝑏 ∼ 𝑎 b∼a 도 성립한다.
• 추이성(Transitivity):
  • 만약 𝑎 ∼ 𝑏 a∼b이고 𝑏 ∼ 𝑐 b∼c라면, 𝑎 ∼ 𝑐 a∼c도 성립해야 한다.

예를 들어, 다음과 같은 관계는 동치 관계입니다:

“두 수는 같은 나머지를 가진다(mod 연산)” 예: 𝑎 ≡ 𝑏 ( m o d 3 ) a≡b(mod3)는 3으로 나눈 나머지가 같다는 뜻이죠. 예를 들어 8과 2는 3으로 나누었을 때 나머지가 2로 같기 때문에, 8 ≡ 2 ( m o d 3 ) 8≡2(mod3)가 성립합니다. 이 관계는 반사성, 대칭성, 추이성을 모두 만족하므로 동치 관계입니다.

정리하자면, 동치 관계(equivalence relation): 어떤 집합의 원소들 사이에 ‘같다’는 개념을 일반화해서 정의한 관계, 이 관계는 반사성, 대칭성, 추이성을 반드시 만족해야 한다.

 

3. 쉽게 말하면 이렇게 구분하자!

비유를 들어볼까요?

‘동치’는 두 명제가 같다는 판단입니다. 예: “A와 B는 같다.”

‘동치 관계’는 누가 누구와 같다고 판단할 수 있는 ‘기준’을 정해주는 룰입니다. 예: “같은 나머지를 가지면 같다”고 정하면, 이게 ‘동치 관계’입니다. 즉, ‘동치’는 특정한 두 개가 같다는 결과, ‘동치 관계’는 여러 개의 원소들 사이에서 같다는 기준이나 규칙입니다.

 

4. 왜 이걸 배우는 걸까?

수학에서 ‘동치 관계’는 복잡한 구조를 단순화하고 분류하는 데 매우 유용합니다. 예를 들어, 어떤 원소들이 서로 동치인지를 정의하면, 그 집합을 동치류(Equivalence Class)로 나눌 수 있습니다. 예를 들어, 학생들을 생일 월(month) 기준으로 나누면, 1월 생일인 학생들끼리, 2월 생일인 학생들끼리, … 이런 식으로 같은 기준(동치 관계)을 만족하는 사람들끼리 같은 부류(동치류)로 나누게 됩니다. 수학뿐 아니라, 프로그래밍(객체 비교), 데이터 분석(클러스터링), 논리학(명제 정리), 철학(개념 구분), 등 다양한 분야에서 이 개념이 응용됩니다.