5학년 2학기 6단원 평균의 개념과 지도시 유의사항

학생들은 우리 일상생활에서 제시된 정보의 특성을 파악하고 그와 관련된 자료들을 수집하고, 정리하며 해석하는 등 통계적 이해를 바탕으로 정보를 처리하고 문제를 해결해야 하는 경우가 많습니다.

4차 산업혁명이 우리에게 교육할 것을 요구하는 문제 해결 역량에는 이처럼 자료를 효과적인 방법으로 표현하며 나아가 올바르게 해석하는 과정이 포함되어 있습니다.

 

이 과정은 수집된 자료의 각 값들을 고르게 하여 자료의 대푯값을 정하는 평균에 대한 개념을 바탕으로 합니다.

이와 같은 평균의 개념은 주어진 자료들이 분포된 상태를 직관적으로 파악할 수 있도록 할 뿐만 아니라, 제시된 자료들을 통계적으로 분석하는 데 가장 기초가 되는 개념이며 확률 개념의 기초와도 관련이 있습니다.

확률 개념의 기초가 되는 ‘일이 일어날 가능성’은 초등학교에서 다루지만, 확률 개념은 중학교에서 다루게 됩니다. 

그래서 교과서에서는 '가능성'이라는 용어만 사용하고 있지요. 

 

* 평균의 두 가지 개념

1. 통계적 탐구의 개념(Reys 외, 2015)

자료 분석, 통계, 확률은 문제 해결력과 비판적 사고력을 증진하고, 의사소통 능력을 강화시킵니다!

이 뿐 아닙니다. 수 감각을 개발하고, 계산을 활용할 수 있는 기회를 제공하기도 합니다.

 

학생들은 학교 밖 실생활에서 통계와 확률 개념을 매일 접하게 됩니다. 

자료 분석, 통계, 확률은 다른 수학 주제나 다른 교과와 연결되어 있기도 하기 때문입니다. 

이런 의미 있는 상황은 학생들이 계산을 수행하는 기회를 제공하며, 비판적 사고를 개발하는 기회를 제공하기 때문에 우리는 반드시 초등학교에서 자료 분석, 통계, 확률 지도를 해야 하는 것입니다.

 

통계적 탐구란 무엇일까요?

통계적 탐구 과정은 문제 설정 → 자료 수집 → 자료 분석 → 결과 해석의 단계를 거칩니다.

 

• 1) 문제 설정 단계 : 초등학교 교사는 학생들이 교실에서 자료 수집이 가능한 문제에 초점을 두고 문제를 설정하도록 해야 한다.
• 2) 자료 수집 단계: 의사소통 기능이 매우 중요하며, 성공적으로 자료를 수집하기 위해서는 조사해야 할 문제를 명확히 해야 하고, 실험이나 시뮬레이션의 세부 단계를 개발해야 하며, 명확하고 효율적으로 기록하는 방법을 찾아야 한다.
• 3) 자료 분석: 자료를 수집한 후 정보를 조직해서 결과를 해석하는 단계다. 그래프는 자료를 시각적으로 제시하거나 조직하는 데 사용되며, 기술 통계는 자료에 대한 조직과 요약하는 것을 말한다. 이때 수를 사용해서 현재의 상황이나 상태를 요약하게 된다. 기술 통계의 가장 대표적인 유형에는 대푯값과 산포도가 있다.
• 4) 결과 해석:  학생들은 절차적 지식(그래프 그리는 방법이나 통계치 계산하는 방 법)과 개념적 지식(그래프나 통계치가 무엇을 전달하고자 하는가에 대한 이해)을 개발해야 한다. 이때 그래프를 해석하는 수준에는 자료 이해하기, 자료들 사이의 관계 이해하기, 자료 이상의 내용 이해하기의 세 가지 수준이 있으며, 자료를 수집, 분석, 해석한 후에는 학생들이 발견한 것에 대해 의사소통하는 것이 필요하다.

 

 

2. 자료의 대푯값과 평균의 개념(김성준 외, 2013; Reys 외, 2015)

대푯값이란 무엇일까요?

대푯값은 통계 집단의 변량 전체를 대표하여 그 자료 전체의 특징을 하나의 수로 나타낸 값을 말합니다.

따라서 이 대푯값을 정하기 위한 방법 중 하나가, 일련의 수들 중에서 중심 또는 가운데를 기술하는 평균인 것입니다.

 

대푯값에는 여러 가지 형태가 있습니다.

초등학교와 중학교에서는 일반적으로 최빈값(가장 빈번하게 나타나는 수), 중앙값(순서대로 열거한 자료에서 중앙에 위치한 값), 산술평균(포함된 모든 자료를 더한 후, 자료의 수로 나누어서 구한 수)을 다룹니다.

학생들은 산술평균이 대푯값의 유일한 형태가 아님을 인식하는 것이 정말 중요합니다!!

 

참고로 우리나라의 경우 초등학교 수학과 교육과정에서 다루어지는 평균의 개념은 산술평균의 개념입니다.

 

대푯값을 선택할 때 학생들은 수집된 자료에서 어떤 대푯값을 계산하고 보고할지 결정해야 하며, 어느 목적에 어느 대푯값이 적절한지 논의하도록 하는 것도 중요해요.

 

초등학교에서는 평균을 구하는 알고리즘에 초점을 맞추지 말고, 비형식적이고 직관적인 개념을 토대로 평균의 의미에 대해 탐구하도록 하는 것이 중요합니다.

 

평균을 시각적으로 이해하기 쉽게 하기 위해서는 점수의 평균을 구할 때, 각 점수를 종이띠로 나타내어 모두 이어 붙인 다음 같은 길이가 되도록 접어 본다든지, 고리 던지기의 성적이 1회 3개, 2회 4개, 3회 3개, 4회 6개인 경우에 이를 막대로 나타내고 막대의 높이를 모두 같게 해 보는 것 등이 도움이 될 수 있습니다.

 

초등학교에서 평균의 지도는 그냥 알고리즘적으로 평균 내는 그 기능을 발전시키는 것에 목표를 두어선 안됩니다!

평균을 구하는 방법도 알아야 하지만, 그러한 수치가 무엇을 말하는지를 아는 것이 중요하기 때문입니다.

 

이처럼 ‘평균’ 및 ‘일이 일어날 가능성’에 대한 개념은 통계적 이해를 위한 가장 기초적이고도 핵심적인 개념으로서 중요성을 갖습니다.

 

 

3. 평균과 가능성을 지도할 때 유의할 점

• 6단원, '평균과 가능성'은 주어진 상황 및 자료들에서 대푯값으로서의 평균의 필요성을 느끼고 평균의 개념을 이해하도록 하는데에 목표가 있습니다. 평균에 대한 개념을 바탕으로 실생활 상황에서 나타난 자료들의 평균을 구하고, 평균을 통해 자료를 예측해 보도록 하며, 평균을 통해 알 수 있는 사실을 파악하도록 해야 합니다.
• 그러기 위해서 다양한 조작 활동을 통해 평균을 구하는 방법을 학습하고 이를 활용하여 일상생활에 나타난 자료들의 평균을 구하고 평균을 통해 자료를 예측해 볼 수 있도록 해야 합니다. 학생들에게 친숙한 소재를 사용하여 학생들의 관심과 흥미를 유도하고 학습에 대한 내적 동기를 유발하며, 일상생활에서 접하는 여러 가지 자료들의 평균을 구하는 다양한 방법을 탐구할 수 있도록 지도해야 합니다.
• 또한 친근한 상황 및 일이 일어날 가능성이 직관적으로 파악되는 상황들에 대해 일이 일어날 가능성을 말과 수로 표현하고 비교할 수 있도록 함으로써 통계 및 확률의 기초 개념을 바탕으로 일상생활에서 접하는 자료 들의 특징을 파악하고 효과적으로 활용하는 능력을 기르도록 하는 것이 좋습니다. 
• 용어 사용 시, ‘확률’이라는 용어 대신 ‘일이 일어날 가능성’이라는 용어를 사용하도록 지도합니다. 학생들이 경험할 수 있는 친근한 상황에서 일이 일어날 가능성을 ‘불가능하다’, ‘~아닐 것 같다’, ‘반반이다’, ‘~일 것 같다’, ‘확실하다’의 말로 표현하고, 비교할 수 있도록 합니다.
• 일이 일어날 가능성의 정도가 직관적으로 파악되는 상황들을 제시하여 일이 일어날 가능성을 0, 1 2 , 1로 표현할 수 있도록 합니다.

 

참고자료:

김성준, 김수환, 신준식, 이대현, 이종영, 임문규, 정은실, 최창우(2013). 『초등학교 수학과 교재 연구와 지도법』. 파주: 동명사.

교육부(2021). 초등학교 5학년 2학기 수학 교사용 지도서.